이항분포, 정규분포, 포아송분포: 통계에서 가장 중요한 분포들 알아보기

확률분포는 데이터 분석에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특히 이항분포, 정규분포, 포아송분포는 자주 사용되는 분포들입니다. 이번 포스팅에서는 이 세 가지 분포에 대해 쉽게 설명해 보겠습니다. 통계나 확률이 처음인 분들도 쉽게 이해할 수 있도록 차근차근 설명할게요!

1. 이항분포 (Binomial Distribution)

이항분포는 성공과 실패라는 두 가지 결과만 가능한 실험을 여러 번 반복할 때 사용하는 분포입니다. 쉽게 말하면, 동전을 여러 번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 구하는 것과 같은 상황에 쓰입니다.

(1) 이항분포의 특징

• 두 가지 결과만 존재: 성공(앞면) 또는 실패(뒷면)
• 독립적인 실험: 각 실험이 서로 영향을 주지 않음 (한 번 동전 던지기가 다음에 영향을 주지 않음)
• 일정한 확률: 각 실험에서 성공할 확률은 항상 동일 (예: 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률은 매번 50%)

(2) 예시: 동전 던지기

동전을 5번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수가 이항분포를 따릅니다. 앞면이 나올 확률을 p=0.5p = 0.5p=0.5라 하면, 성공(앞면)과 실패(뒷면)의 두 가지 결과가 있으며, 이 실험을 5번 반복했을 때 앞면이 몇 번 나올지 확률적으로 계산할 수 있습니다.

(3) 이항분포 공식

이항분포에서 성공의 횟수를 구하는 확률은 다음과 같은 공식으로 계산됩니다.

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$$

• n: 실험 횟수 (동전을 5번 던지면 n=5n = 5n=5)
• k: 성공 횟수 (앞면이 나오는 횟수)
• p: 성공 확률 (앞면이 나올 확률 0.5)

2. 정규분포 (Normal Distribution)

정규분포는 통계에서 가장 많이 사용되는 분포입니다. 우리가 흔히 보는 종 모양의 곡선이 바로 정규분포입니다. 많은 자연 현상, 예를 들어 사람의 키나 몸무게 같은 데이터들이 정규분포를 따릅니다.

(1) 정규분포의 특징

• 평균을 중심으로 좌우 대칭: 데이터가 평균을 중심으로 고르게 분포됩니다.
• 종 모양 곡선: 데이터가 평균 근처에 몰려 있고, 평균에서 멀어질수록 데이터가 적어집니다.
• 표준편차: 표준편차가 작을수록 데이터가 평균에 가까이 모여 있고, 표준편차가 클수록 데이터가 퍼져 있습니다.

(2) 예시: 사람들의 키

사람들의 키는 정규분포를 따르는 경우가 많습니다. 대부분의 사람은 평균 키에 가깝고, 평균보다 매우 크거나 작은 사람은 상대적으로 적습니다. 예를 들어, 어떤 나라의 성인 남성 키가 평균 175cm이고, 표준편차가 10cm라면, 많은 사람들의 키는 165cm에서 185cm 사이에 분포하고 있음을 의미합니다.

(3) 정규분포 공식

정규분포의 확률밀도 함수는 다음과 같습니다:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$​

• μ: 평균
• σ: 표준편차
• x: 데이터 값

정규분포는 매우 복잡한 수학적 공식이지만, 기본적으로 데이터가 평균을 중심으로 어떻게 퍼져 있는지를 나타냅니다.

3. 포아송분포 (Poisson Distribution)

포아송분포는 특정 시간이나 공간 내에 사건이 몇 번 발생할지를 나타내는 분포입니다. 이 분포는 특정 사건이 발생하는 횟수를 예측할 때 사용되며, 사건이 발생하는 확률은 매우 작지만, 사건을 관찰할 수 있는 기회는 많을 때 유용합니다.

 

(1) 포아송분포의 특징

• 희귀한 사건: 사건이 자주 일어나지 않음 (예: 한 시간 동안 발생하는 버스 사고)
• 시간이나 공간에 의존: 일정한 시간이나 공간 내에서 사건이 몇 번 발생할지를 나타냅니다.
• 독립적인 사건: 사건이 발생하는 횟수는 서로 독립적입니다.

(2) 예시: 전화 상담 센터

한 시간 동안 고객 서비스 센터에 전화가 몇 번 오는지를 예측할 때 포아송분포를 사용할 수 있습니다. 전화가 한 시간 동안 얼마나 자주 걸려오는지에 대한 확률을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 한 시간에 평균적으로 5번의 전화가 온다면, 특정 시간대에 2번이나 8번 전화가 걸려올 확률을 포아송분포로 계산할 수 있습니다.

(3) 포아송분포 공식

포아송분포는 다음과 같은 공식으로 표현됩니다:

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$​

• λ: 일정 시간 또는 공간에서 예상되는 사건의 평균 발생 횟수
• k: 실제로 사건이 발생한 횟수
• e: 자연 상수 (약 2.718)

결론

이번 포스팅에서는 이항분포, 정규분포, 포아송분포라는 세 가지 주요 확률분포에 대해 알아보았습니다. 이 분포들은 각기 다른 상황에서 유용하게 사용됩니다.

• 이항분포는 성공과 실패가 명확한 반복 실험에서 사용되며, 동전 던지기와 같은 상황에 적합합니다.
• 정규분포는 자연 현상에서 자주 나타나는 데이터 분포로, 많은 데이터가 평균 근처에 모여 있을 때 유용합니다.
• 포아송분포는 일정 시간이나 공간 내에 드물게 발생하는 사건의 횟수를 예측하는 데 사용됩니다.

이 세 가지 분포를 이해하면, 다양한 확률 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 것입니다.