기본 확률 개념: 확률, 확률 분포, 조건부 확률

확률 이론은 일상 속에서 우리가 마주하는 불확실성을 수치화하고 이해하는 데 도움을 주는 매우 중요한 개념입니다. 확률을 통해 우리는 불확실한 사건이 발생할 가능성을 예측하고, 데이터를 기반으로 더 나은 결정을 내릴 수 있습니다. 기본적인 확률 개념인 확률, 확률 분포, 그리고 조건부 확률에 대해 간단히 알아보겠습니다.

1. 확률 (Probability)

확률은 특정 사건이 발생할 가능성을 나타내는 수치입니다. 이는 0에서 1 사이의 값으로 표현되며, 0은 그 사건이 절대로 발생하지 않는다는 것을 의미하고, 1은 반드시 발생한다는 것을 의미합니다.

(1) 확률의 기본 정의

확률은 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다: P(A)=A 가 발생하는 경우의 수전체 경우의 수 $$
P(A) = \frac{\text{A가 발생하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}
$$
예를 들어, 주사위를 던졌을 때 3이 나올 확률을 계산해보면, 전체 경우의 수는 6(주사위의 면수)이고, 3이 나오는 경우는 1이므로 확률은 1/6 이 됩니다.

 

(2) 확률의 성질

• 0 ≤ P(A) ≤ 1: 확률은 0과 1 사이의 값입니다.
• P(전체 사건) = 1: 모든 가능한 결과의 합은 1입니다.
• P(불가능한 사건) = 0: 일어날 수 없는 사건의 확률은 0입니다.

2. 확률 분포 (Probability Distribution)

확률 분포는 가능한 모든 사건의 확률을 체계적으로 나열한 것을 의미합니다. 이는 우리가 특정 사건이 얼마나 자주 발생하는지를 시각적으로 표현하고, 데이터를 분석하는 데 매우 유용한 도구입니다.

(1) 이산 확률 분포 (Discrete Probability Distribution)

이산 확률 분포는 사건들이 불연속적인 값을 가질 때 사용됩니다. 예를 들어, 동전 던지기, 주사위 굴리기 같은 경우가 여기에 해당됩니다. 각 사건의 확률을 나열하여 분포를 만들 수 있습니다.

예를 들어, 주사위의 확률 분포를 나타내면 다음과 같이 각 면이 나올 확률이 모두 동일하게 1/6이 됩니다.

 

$$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$$

 

(2) 연속 확률 분포 (Continuous Probability Distribution)

연속 확률 분포는 사건들이 연속적인 값을 가질 때 사용됩니다. 가장 대표적인 예는 정규 분포입니다. 정규 분포는 종 모양의 곡선을 그리며, 데이터가 평균을 중심으로 좌우 대칭적으로 분포하는 특징이 있습니다.

정규 분포의 예는 키나 몸무게 같은 연속적인 데이터를 다룰 때 주로 사용되며, 중심에 가까울수록 값이 많이 분포하고, 멀어질수록 적게 분포합니다.

3. 조건부 확률 (Conditional Probability)

조건부 확률은 한 사건이 이미 발생한 경우에, 다른 사건이 발생할 확률을 의미합니다. 즉, 어떤 조건이 주어졌을 때 그 조건하에서 특정 사건이 일어날 확률을 계산하는 방법입니다.

(1) 조건부 확률의 정의

조건부 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

$$P(A∣B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$​

여기서 P(A∣B)P(A | B)P(A∣B)는 B가 발생한 조건 하에서 A가 발생할 확률을 의미합니다. P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B)는 A와 B가 동시에 발생할 확률, P(B)P(B)P(B)는 B가 발생할 확률입니다.

(2) 예시

예를 들어, 두 개의 주사위를 던졌을 때 첫 번째 주사위가 4가 나왔을 경우, 두 번째 주사위가 6이 나올 확률을 구해보겠습니다.

• 첫 번째 주사위가 4가 나왔으므로, 두 번째 주사위가 6이 나오는 조건부 확률은 전체 사건에서 첫 번째 주사위가 4가 나온 사건에 대한 두 번째 주사위가 6인 사건의 확률로 계산할 수 있습니다. 여기서 첫 번째 주사위가 4인 사건과 두 번째 주사위가 6인 사건은 독립적이므로, 확률은 여전히 1/6​입니다.

결론

이번 포스팅에서는 기본 확률 개념인 확률, 확률 분포, 조건부 확률에 대해 살펴보았습니다. 확률은 우리가 일상 속에서 마주하는 다양한 불확실한 상황을 수치적으로 이해하는 데 도움을 줍니다. 확률 분포는 이러한 불확실성을 시각화하고 예측하는 데 필수적인 도구이며, 조건부 확률은 특정 조건 하에서 사건이 일어날 가능성을 계산하는 강력한 도구입니다.

확률 개념을 잘 이해하고 활용하면, 데이터 분석이나 의사결정에서 더욱 정확하고 유용한 결과를 도출할 수 있습니다.